Twierdzenie Pitagorasa

Zadania z rozwiązaniem krok po kroku

Zadanie 1

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma 7 cm, a przeciwprostokątna 12 cm. Jaką długość ma druga przyprostokątna? (A. 5 cm, B. √95 cm, C. √193 cm, D. 95 cm)

1. Oznaczamy: przyprostokątne a=7 i b (szukana), przeciwprostokątna c=12. Tw. Pitagorasa: a²+b²=c²
2. Podstawiamy dane: 7²+b²=12²
3. Wyznaczamy b² (uwaga: szukamy przyprostokątnej, więc ODEJMUJEMY): b²=144-49=95
4. Pierwiastkujemy. 95=5· 19 — brak czynnika kwadratowego, więc nie upraszcza się: b=√95 cm≈ 9,75 cm

Wynik: b=√95 cm — odpowiedź B.

Zadanie 2a

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 17 cm.

1. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne; z tw. Pitagorasa: d²=a²+a²=2a²
2. Stąd d=a√2. Podstawiamy a=17: d=17√2 cm≈ 24,04 cm

Wynik: d=17√2 cm.

Zadanie 2b

Oblicz długość boku kwadratu o przekątnej 16 cm.

1. Z zależności d=a√2 wyznaczamy bok: a=d/√2=16/√2
2. Usuwamy niewymierność z mianownika (mnożymy przez √2/√2): a=16√2/2=8√2 cm≈ 11,31 cm

Wynik: a=8√2 cm.

Zadanie 3a

Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 8 cm.

1. Wzór na pole trójkąta równobocznego: P=a²√3/4
2. Podstawiamy a=8: P=64√3/4=16√3 cm²≈ 27,71 cm²

Wynik: P=16√3 cm².

Zadanie 3b

Oblicz pole trójkąta równobocznego o wysokości 15 cm.

1. Wysokość trójkąta równobocznego: h=a√3/2. Wyznaczamy bok: a=2h/√3=30/√3=10√3 cm
2. Liczymy pole P=a²√3/4: P=((10√3)²√3)/4=300√3/4=75√3 cm²
3. Sprawdzenie skrótem P=h²/√3: P=225/√3=75√3 cm²≈ 129,9 cm²

Wynik: P=75√3 cm².

Zadanie 4a

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego z kątem 30°, w którym przeciwprostokątna ma 6 cm. (odczyt z rysunku)

1. Kąty 30°, 60°, 90° ⇒ boki w stosunku 1:√3:2 (naprzeciw 30°, 60°, 90°). Przeciwprostokątna =6, więc: krótsza= 1/2· 6 = 3, dłuższa=3√3
2. Obwód = suma trzech boków: L=3+3√3+6=9+3√3 cm≈ 14,2 cm

Wynik: L=9+3√3 cm (przy założeniu, że 6 cm to przeciwprostokątna).

Zadanie 4b

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego z kątem 45° i przyprostokątną 4 cm. (odczyt z rysunku)

1. Kąt 45° w trójkącie prostokątnym ⇒ trójkąt równoramienny: obie przyprostokątne równe 4 cm. Przeciwprostokątna z tw. Pitagorasa: c=√(4²+4²)=√32=4√2
2. Obwód: L=4+4+4√2=8+4√2 cm≈ 13,66 cm

Wynik: L=8+4√2 cm.

Wzory i reguły

Twierdzenie Pitagorasa

a²+b²=c² — a,b — przyprostokątne, c — przeciwprostokątna.

Przekątna kwadratu

d=a√2 — a — bok kwadratu.

Bok kwadratu z przekątnej

a=d/√2=d√2/2 — Odwrócenie wzoru na przekątną.

Pole trójkąta równobocznego

P=a²√3/4 — a — bok.

Wysokość trójkąta równobocznego

h=a√3/2 — Zależność bok ↔ wysokość.

Trójkąt 30°–60°–90°

1:√3:2 — Boki naprzeciw kątów 30°, 60°, 90°.

Trójkąt 45°–45°–90°

1:1:√2 — Przyprostokątne równe, przeciwprostokątna ×√2.

Pole trójkąta

P=1/2 a h — Podstawa razy wysokość przez 2.

Obwód trójkąta

L=a+b+c — Suma długości boków.

Definicje

Trójkąt prostokątny

Trójkąt, który ma jeden kąt prosty, czyli kąt o mierze 90°. Pozostałe dwa kąty są ostre i razem dają 90° (bo suma kątów trójkąta to 180°).

Przyprostokątna

Każdy z dwóch boków trójkąta prostokątnego, które tworzą kąt prosty (stykają się w wierzchołku kąta 90°). Trójkąt prostokątny ma dwie przyprostokątne.

Przeciwprostokątna

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego — leży naprzeciw kąta prostego. W twierdzeniu Pitagorasa oznaczamy ją zwykle literą c.

Twierdzenie Pitagorasa

W każdym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: a²+b²=c².

Twierdzenie odwrotne do Pitagorasa

Jeśli w trójkącie kwadrat najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych (a²+b²=c²), to ten trójkąt jest prostokątny. Pozwala SPRAWDZIĆ, czy trójkąt jest prostokątny.

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby a≥ 0 to taka liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a. Zapis: √a.

Liczba niewymierna

Liczba, której NIE można zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych, a jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. Wiele pierwiastków to liczby niewymierne.

Przekątna

Odcinek łączący dwa wierzchołki figury, które nie są połączone bokiem. W kwadracie o boku a przekątna ma długość d=a√2.

Trójkąt równoboczny

Trójkąt, w którym wszystkie trzy boki mają tę samą długość, a wszystkie kąty są równe i mają po 60°. Jego wysokość to h=a√3/2, a pole P=a²√3/4.

Trójka pitagorejska

Trzy liczby całkowite a, b, c, które spełniają równość a²+b²=c² — czyli są bokami trójkąta prostokątnego o całkowitych długościach.

Typowe pułapki

• Podstawianie liczb do wzoru BEZ wcześniejszego przekształcenia. Jak uniknąć: Jeśli szukana wielkość nie stoi sama po jednej stronie wzoru, NAJPIERW przekształć wzór (na samych literach), a DOPIERO POTEM podstaw liczby. Np. z h=a√3/2 przy szukanym a zrób najpierw a=2h/√3, a potem licz — inaczej łatwo o błąd.
• Mylenie przeciwprostokątnej z przyprostokątną. Jak uniknąć: Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa. Gdy szukasz przyprostokątnej — ODEJMUJESZ kwadraty (b²=c²-a²).
• Próba „uproszczenia” √95. Jak uniknąć: 95=5·19 — nie ma czynnika będącego kwadratem, więc √95 jest już wynikiem końcowym.
• Mylenie a√2 z d/√2. Jak uniknąć: Z boku na przekątną: ×√2. Z przekątnej na bok: :√2 (czyli ×√2/2).
• Pomieszanie jednostek pola i obwodu. Jak uniknąć: Długości i obwód w cm, pole w cm². Po obliczeniu sprawdź jednostkę.
• Zapominanie, że 45° ⇒ trójkąt równoramienny. Jak uniknąć: W trójkącie prostokątnym kąt 45° oznacza, że obie przyprostokątne są równe.

Słowniczek

Przyprostokątna

Bok trójkąta prostokątnego leżący przy kącie prostym (jeden z dwóch krótszych).

Przeciwprostokątna

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciw kąta prostego.

Trójkąt prostokątny

Trójkąt mający jeden kąt prosty (90°).

Przekątna

Odcinek łączący przeciwległe wierzchołki, np. kwadratu: d=a√2.

Trójkąt równoboczny

Trójkąt o wszystkich bokach i kątach równych (po 60°).

Wysokość

Odcinek prostopadły z wierzchołka do przeciwległego boku.

Obwód

Suma długości wszystkich boków figury (w cm).

Pole

Miara powierzchni figury (w cm²).